[Jeu] Questions / Enigmes
- Auteur de la discussion Erixo
- Date de début
Ok, la solution était A = 4 et B = 13 (ou A = 13 et B = 4).
Voici la démonstration, mais vous allez encore pleurer :
Gilbert : "Je ne peux pas trouver ces deux nombres."
Ceci signifie que le produit P peut se décomposer d'au moins deux manières différentes en produit de deux nombres compris entre 2 et 100. Par exemple, on pourrait avoir P = 75, car ce produit se décompose en 3*25 ou 5*15, mais on ne peut pas avoir P = 77 car alors la décomposition serait unique : 7*11.
Voici une liste de valeurs que nous pouvons d'ores et déjà éliminer:
- toute valeur inférieure à 4 ou supérieure à 10000
- le produit de deux nombres premiers (par exemple 77 = 7*11)
- le cube d'un nombre premier (par exemple 125 = 5*25)
- le double du carré d'un premier plus grand que 10 (par exemple, 242 = 2*11*11 = 11*22 : la décomposition en 2*121 est impossible)
- un multiple strict d'un nombre premier plus grand que 50 (par exemple 318 = 6*53)
- le produit du carré d'un premier plus grand que 10 par un nombre premier (par exemple 242 = 2*11*11 = 11*22 ; la décomposition en 2*121 est impossible)
- et bien d'autres...
Gérard : "Je le savais."
Ceci signifie que la somme S ne peut pas s'écrire comme somme de deux nombres dont le produit aurait été éliminé dans l'étape précédente. Par exemple, la somme 11 convient car tous les produits possibles sont "non uniques" : 11 = 2+9 ; 2*9 = 18 = 3*6 11 = 3+8 ; 3*8 = 24 = 2*12 = 4*6 11 = 4+7 ; 4*7 = 28 = 2*14 11 = 5+6 ; 5*6 = 30 = 2*15 = 3*10
En revanche, la somme 13 ne convient pas car : 13 = 2+11 ; 2*11 = 22 (pas d'autre décomposition)
Par conséquent, on peut commencer par éliminer toutes les sommes de deux nombres premiers. Vous pouvez vérifier que cela élimine déjà toutes les sommes paires. Pour ce qui est des sommes impaires, on élimine celles qui sont égales à un nombre premier plus 2: 5 (3+2), 7(5+2), 9(7+2), 13 (11+2), etc. Après ce premier débroussaillage, il nous reste les sommes qui sont égales à un nombre composé impair plus 2 : 11 (3*3 + 2), 17 (3*5 + 2), 23 (3*7 + 2), 27 (5*5 + 2), 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, etc. Nous pouvons aussi supprimer toutes les sommes S à partir de 57, puisque : si 57 <= S <= 153, on peut écrire S = 53 + n, avec 4 <= n <= 100, si 155 <= S <= 197, on peut écrire S = 97 + n, avec 58 <= n <= 100, si S = 199, on peut écrire S = 100 + 99. Dans chacun de ces trois cas, le produit P correspondant (soit 53*n, soit 97*n, soit 100*99) a une décomposition unique. On peut enfin supprimer la somme S = 51 = 17 + 34, car le produit P = 17*34 n'a pas d'autre décomposition. Voici donc la liste exhaustive des sommes possibles à cette étape du raisonnement, avec pour chaque somme la liste des produits possibles.
11 : 18 24 28 30
17 : 30 42 52 60 66 70 72
23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408 414 418 420
47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510 522 532 540 546 550 552
53 : 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
Gilbert : "Alors je les connais."
Pour que Gilbert puisse faire cette affirmation, il faut que le produit P se trouve une fois et une seule dans la liste que nous venons d'écrire. Cela élimine donc les produits P = 30 (S = 11 ou 17), P = 42 (S = 17 ou 23), etc. Il reste:
11 : 18 24 28
17 : 52
23 : 76 112 130
27 : 50 92 110 140 152 162 170 176 182
29 : 54 100 138 154 168 190 198 204 208
35 : 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
37 : 160 186 232 252 270 336 340
41 : 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418
47 : 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 540 550 552
53 : 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
Gérard : "Moi aussi alors."
Pour que Gérard puisse dire cela, il faut qu'il ne reste plus qu'un seul produit correspondant à la somme qu'il connaît. Ceci n'est réalisé que si la somme est 17, auquel cas le produit est 52. Les nombres de départ sont donc 4 et 13.
Bon, j'ai pas d'autre énigme sous la main donc je laisse mon tour à qui le veut.
Voici la démonstration, mais vous allez encore pleurer :
Gilbert : "Je ne peux pas trouver ces deux nombres."
Ceci signifie que le produit P peut se décomposer d'au moins deux manières différentes en produit de deux nombres compris entre 2 et 100. Par exemple, on pourrait avoir P = 75, car ce produit se décompose en 3*25 ou 5*15, mais on ne peut pas avoir P = 77 car alors la décomposition serait unique : 7*11.
Voici une liste de valeurs que nous pouvons d'ores et déjà éliminer:
- toute valeur inférieure à 4 ou supérieure à 10000
- le produit de deux nombres premiers (par exemple 77 = 7*11)
- le cube d'un nombre premier (par exemple 125 = 5*25)
- le double du carré d'un premier plus grand que 10 (par exemple, 242 = 2*11*11 = 11*22 : la décomposition en 2*121 est impossible)
- un multiple strict d'un nombre premier plus grand que 50 (par exemple 318 = 6*53)
- le produit du carré d'un premier plus grand que 10 par un nombre premier (par exemple 242 = 2*11*11 = 11*22 ; la décomposition en 2*121 est impossible)
- et bien d'autres...
Gérard : "Je le savais."
Ceci signifie que la somme S ne peut pas s'écrire comme somme de deux nombres dont le produit aurait été éliminé dans l'étape précédente. Par exemple, la somme 11 convient car tous les produits possibles sont "non uniques" : 11 = 2+9 ; 2*9 = 18 = 3*6 11 = 3+8 ; 3*8 = 24 = 2*12 = 4*6 11 = 4+7 ; 4*7 = 28 = 2*14 11 = 5+6 ; 5*6 = 30 = 2*15 = 3*10
En revanche, la somme 13 ne convient pas car : 13 = 2+11 ; 2*11 = 22 (pas d'autre décomposition)
Par conséquent, on peut commencer par éliminer toutes les sommes de deux nombres premiers. Vous pouvez vérifier que cela élimine déjà toutes les sommes paires. Pour ce qui est des sommes impaires, on élimine celles qui sont égales à un nombre premier plus 2: 5 (3+2), 7(5+2), 9(7+2), 13 (11+2), etc. Après ce premier débroussaillage, il nous reste les sommes qui sont égales à un nombre composé impair plus 2 : 11 (3*3 + 2), 17 (3*5 + 2), 23 (3*7 + 2), 27 (5*5 + 2), 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, etc. Nous pouvons aussi supprimer toutes les sommes S à partir de 57, puisque : si 57 <= S <= 153, on peut écrire S = 53 + n, avec 4 <= n <= 100, si 155 <= S <= 197, on peut écrire S = 97 + n, avec 58 <= n <= 100, si S = 199, on peut écrire S = 100 + 99. Dans chacun de ces trois cas, le produit P correspondant (soit 53*n, soit 97*n, soit 100*99) a une décomposition unique. On peut enfin supprimer la somme S = 51 = 17 + 34, car le produit P = 17*34 n'a pas d'autre décomposition. Voici donc la liste exhaustive des sommes possibles à cette étape du raisonnement, avec pour chaque somme la liste des produits possibles.
11 : 18 24 28 30
17 : 30 42 52 60 66 70 72
23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408 414 418 420
47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510 522 532 540 546 550 552
53 : 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
Gilbert : "Alors je les connais."
Pour que Gilbert puisse faire cette affirmation, il faut que le produit P se trouve une fois et une seule dans la liste que nous venons d'écrire. Cela élimine donc les produits P = 30 (S = 11 ou 17), P = 42 (S = 17 ou 23), etc. Il reste:
11 : 18 24 28
17 : 52
23 : 76 112 130
27 : 50 92 110 140 152 162 170 176 182
29 : 54 100 138 154 168 190 198 204 208
35 : 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
37 : 160 186 232 252 270 336 340
41 : 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418
47 : 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 540 550 552
53 : 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
Gérard : "Moi aussi alors."
Pour que Gérard puisse dire cela, il faut qu'il ne reste plus qu'un seul produit correspondant à la somme qu'il connaît. Ceci n'est réalisé que si la somme est 17, auquel cas le produit est 52. Les nombres de départ sont donc 4 et 13.
Bon, j'ai pas d'autre énigme sous la main donc je laisse mon tour à qui le veut.
Je prend le tour.
À un marchand ambulant au‘il n‘à pas vu depuis longtemps et qui lui demande l‘âge de ses trois filles, un drapier répond:
“La multiplication de leurs trois âges est égale à 36.
-Ah! Mais encore?
-La somme de leur trois âges est égale au numéro de la ferme d‘en face.“
Le marchand ambulant regarde de l‘autre côté de la rue et dit:
“Je ne vois toujours pas.
-L‘aînée est blonde.
-Ah, maintenant je sais!“
Comment le marchand ambulant a-t-il réussi à savoir quel âge avaient les trois filles du drapier et quel est-il?
À un marchand ambulant au‘il n‘à pas vu depuis longtemps et qui lui demande l‘âge de ses trois filles, un drapier répond:
“La multiplication de leurs trois âges est égale à 36.
-Ah! Mais encore?
-La somme de leur trois âges est égale au numéro de la ferme d‘en face.“
Le marchand ambulant regarde de l‘autre côté de la rue et dit:
“Je ne vois toujours pas.
-L‘aînée est blonde.
-Ah, maintenant je sais!“
Comment le marchand ambulant a-t-il réussi à savoir quel âge avaient les trois filles du drapier et quel est-il?
